Probabilità di vincita alla lotteria

La probabilità di vincere alla lotteria dipende dal numero di combinazioni possibili dei numeri e ora impareremo a calcolarle da soli. Per chi non vuole fare calcoli manualmente, c'è un calcolatore online qui sopra.

Probabilità

— il grado (misura relativa, valutazione quantitativa) della possibilità che un determinato evento si verifichi.

Iniziamo con un esempio semplice, abbiamo cinque numeri:

Qual è la probabilità di indovinare un numero su cinque? È uguale a$\frac{1}{5}$ , ci sono solo cinque combinazioni possibili per questo insieme di numeri: o 5, oppure 3, oppure 2, oppure 4, oppure 1.

Per comodità, indichiamo le nostre lotterie come "$k\text{su}n$", e quando necessario, sostituiremo i numeri corrispondenti.

Rendiamo le regole più difficili — per vincere bisogna indovinare "2 su 5" ($k=2,n=5$). Ora la possibilità di indovinare è $\frac{1}{10}$, poiché ci sono dieci combinazioni possibili, eccole:

È importante notare che l'ordine in cui i numeri appaiono in ogni combinazione non influisce sulla vincita della lotteria.

Nella teoria della probabilità, i cinque numeri sopra sono in realtà un insieme di numeri da 1 a 5. Un insieme si indica con le parentesi graffe { }, e ogni singola combinazione si chiama combinazione.

In combinatoriauna combinazione di k da n elementi è una selezione contenente k elementi scelti da un insieme di n elementi distinti.

Nelle combinazioni, l'ordine degli elementi non conta, $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ sono considerate uguali.

Ora possiamo scrivere tutto questo in forma matematica:

Abbiamo un insieme di 5 numeri $\{1,2,3,4,5\}$. E ci sono 10 combinazioni che si possono formare da 5 numeri presi a 2 a 2:

Il numero totale di combinazioni di n elementi presi k alla volta si indica con$C_n^k$(dalla prima lettera della parola francese "combinaison", che significa "combinazione") e si legge come "il numero di combinazioni di n elementi presi k alla volta". Nel nostro caso$C_5^2$ — il numero di combinazioni di 5 presi 2 alla volta è uguale a 10.

Numero di combinazioni

Il numero di combinazioni si calcola con la formula:

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$n!$ e $k!$ — sono fattoriali dei numeri corrispondenti $n$ e $k$. Il fattoriale di un numero naturale $n$ è il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a $n$ compreso. Ad esempio, il fattoriale di 5 è uguale a $5!=1·2·3·4·5=120$.

Verifichiamo il nostro risultato per la lotteria 2 su 5:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!·3!}=\frac{1·2·3·4·5}{1·2·1·2·3}$

Guarda, possiamo semplificare dividendo e divisore per $(n-k)!$, ho evidenziato con le parentesi per maggiore chiarezza:

$\frac{(1·2·3)·4·5}{1·2·(1·2·3)}=\frac{1·2·3}{1·2·3}·\frac{4·5}{1·2}=\frac{20}{2}=10$

Nota che dopo aver semplificato dividendo e divisore, ci restano due numeri sia nel dividendo che nel divisore, o più precisamente $k$ numeri. Nel dividendo, questi sono il prodotto dei due numeri più grandi da $n$, e nel divisore, il fattoriale di $k$. E se vuoi calcolare la probabilità di vincita, non è necessario calcolare i fattoriali completi — basta moltiplicare i $k$ elementi più grandi da $n$ e dividere per il fattoriale di $k$.

Probabilità di vincita

Calcoliamo il numero di combinazioni per la lotteria "Sportloto 6 su 45":

$C_{45}^6=\frac{45!}{6!(45-6)!}=\frac{45·44·43·42·41·40}{6·5·4·3·2·1}=\frac{5.864.443.200}{720}=8.145.060$

L'intero insieme delle combinazioni è un sistema integrale. Se acquisti biglietti con tutte le combinazioni, la vincita è garantita.

Passiamo ora alla probabilità di vincita. Se acquisti un biglietto della lotteria "Sportloto 6 su 45" con una combinazione, la tua probabilità è 1 su 8.145.060. Hai acquistato 2 biglietti con combinazioni diverse — le tue possibilità sono 2 su 8.145.060 o 1 su 4.072.530. Hai acquistato 10 biglietti ma hai scritto la stessa combinazione su tutti — le tue possibilità sono di nuovo 1 su 8.145.060. Quindi, la probabilità è il rapporto tra le tue combinazioni uniche e il numero totale di combinazioni.

Se giochi a una lotteria dove devi indovinare i numeri in due campi di gioco, ad esempio la lotteria americana Powerball "5 su 69 + 1 su 26", devi moltiplicare il numero di combinazioni di "5 su 69" per "1 su 26".

$C_{69}^5=\frac{69!}{5!(69-5)!}=\frac{69·68·67·66·65}{5·4·3·2·1}=\frac{1.348.621.560}{120}=11.238.513$

$C_{26}^1=\frac{26!}{1!(26-1)!}=\frac{26}{1}=26$

$11.238.513·26=292.201.338$

"Sportloto 4 su 20"

Nella lotteria russa "Sportloto 4 su 20", per vincere il jackpot bisogna indovinare "4 su 20" in due campi. Calcoliamo il numero di combinazioni per un campo:

$C_{20}^4=\frac{20!}{4!(20-4)!}=\frac{20·19·18·17}{4·3·2·1}=\frac{116.280}{24}=4845$

Otteniamo 4.845 combinazioni, la probabilità di indovinare "4 su 20" è 1 su 4.845, ma poiché dobbiamo indovinare due volte, moltiplichiamo le probabilità per ottenere il numero di combinazioni per due campi:

$4845·4845=23.474.025$

Come possiamo vedere, la probabilità di vincere "Sportloto 4 su 20" è inferiore a "Sportloto 6 su 45": 1 su 23 milioni contro 1 su 8 milioni.

Ma almeno è realistico, vediamo le regole della lotteria russa "Russian Loto":

"Russian Loto"

In un sacchetto vengono inseriti barili numerati da 1 a 90. Il conduttore estrae i barili uno alla volta e annuncia i numeri. Nel primo turno vincono i biglietti in cui 5 numeri di una qualsiasi delle sei righe orizzontali corrispondono ai numeri dei barili estratti. Nel secondo turno vincono i biglietti in cui tutti i 15 numeri di un campo corrispondono ai numeri estratti. Se al quindicesimo turno tutti i quindici numeri di uno dei due campi del biglietto (superiore o inferiore) corrispondono ai barili estratti — vinci il Jackpot.

Risulta che al 15° turno dobbiamo "indovinare" "15 su 90". La parola indovinare è tra virgolette perché in questa lotteria non scegliamo i numeri, a differenza delle altre — nel "Russian Loto" i numeri sono già scelti. Stimiamo la probabilità di indovinare "15 su 90":

$C_{90}^{15}=\frac{90!}{15!(90-15)!}=45.795.673.964.460.820$

Poiché un biglietto ha due campi di gioco (superiore e inferiore), la probabilità di vincere il Jackpot acquistando un biglietto è:

$\frac{45.795.673.964.460.820}{2}=22.897.836.982.230.410$

Wikipedia mi ha aiutato a trovare questa parola — quadrilione. La probabilità di vincere il jackpot al Russian Loto è una su ventidue quadrilioni. Ricordate il problema del grano e della scacchiera? Questo numero è dello stesso ordine di grandezza, forse circa 200 volte più piccolo. È un numero astronomico, irreale.

Quando giochi a una lotteria normale, ad esempio "6 su 45", compili una schedina e la tua combinazione partecipa all'estrazione. Nel Russian Loto non compili una schedina — acquisti un biglietto con una combinazione già scelta. Sarebbe giusto se potessi scegliere una combinazione su 45 quadrilioni, ma non puoi, perché nessuno sarà mai in grado di stampare tanti biglietti per una singola estrazione.

Ma continuiamo a valutare le probabilità. La prossima lotteria è "Sportloto 5 su 36". Le regole ci dicono quanto segue:

"Sportloto 5 su 36"

Scegli cinque o più numeri nell'intervallo da 1 a 36 nel campo 1 e uno o più numeri nell'intervallo da 1 a 4 nel campo 2. Indovinando 5 numeri nel campo 1 e 1 numero nel campo 2, vinci il jackpot. Indovinando solo 5 numeri nel campo 1, vinci la categoria "premio".

Per vincere il jackpot, bisogna indovinare "5 su 36 e 1 su 4", vediamo:

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{45.239.040}{120}=376.992$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$376.992·4=1.507.968$

Una su un milione e mezzo, c'è una possibilità. Vediamo la probabilità di vincere un premio indovinando "5 su 36":

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{45.239.040}{120}=376.992$

Le possibilità sono ancora più alte.

"6 su 36"

La prossima lotteria è "6 su 36", qui non puoi scegliere la tua combinazione — dovrai acquistare quella proposta. Vediamo:

$C_{36}^6=\frac{36!}{6!(36-6)!}=\frac{36·35·34·33·32·31}{6·5·4·3·2·1}=\frac{1.402.410.240}{720}=1.947.792$

"Sportloto 7 su 49"

$C_{49}^7=\frac{49!}{7!(49-7)!}=\frac{49·48·47·46·45·44·43}{7·6·5·4·3·2·1}=\frac{432.938.943.360}{5040}=85.900.584$

Lotteria "Rapido"

Passiamo ora alle lotterie esotiche. La lotteria "Rapido". Le regole dicono che per vincere il jackpot:

Bisogna indovinare 8 numeri unici da 1 a 20 nella prima parte del campo di gioco e un numero da 1 a 4 nella seconda parte.

Otteniamo "8 su 20 e 1 su 4"

$C_{20}^8=\frac{20!}{8!(20-8)!}=\frac{20·19·18·17·16·15·14·13}{8·7·6·5·4·3·2·1}=\frac{5.079.110.400}{40.320}=125.970$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$125.970·4=503.880$

La probabilità di vincere "Rapido" è 1 su 503.880.

Lotteria "Zodiac"

Nella lotteria "Zodiac" bisogna indovinare 4 numeri: il primo — da 1 a 31 compresi, il secondo — da 1 a 12 compresi, il terzo — da 0 a 99 compresi, e il quarto — da 1 a 12 compresi. Otteniamo probabilità di 1 su 31, 1 su 12, 1 su 100 (poiché da 0 a 99 compresi), e di nuovo 1 su 12. Moltiplichiamo queste probabilità:

$31·12·100·12=446.400$

La probabilità di vincere il jackpot nella lotteria "Zodiac" è 1 su 446.400.

Lotteria "Duel"

Una combinazione dell'estrazione è composta da quattro numeri: due numeri (nell'intervallo da 1 a 26) per il primo campo e due numeri (nell'intervallo da 1 a 26) per il secondo campo.

Per vincere il jackpot dobbiamo indovinare "2 su 26 e 2 su 26":

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$325·325=105.625$

La probabilità di vincere il jackpot nella lotteria "Duel" è 1 su 105.625.