Probabilidades de ganhar na loteria

A probabilidade de ganhar na loteria depende do número de combinações possíveis de bolas e agora vamos aprender a calculá-las, e para quem não quer calcular manualmente, há uma calculadora online acima.

Probabilidade

— o grau (medida relativa, avaliação quantitativa) da possibilidade de ocorrência de um determinado evento.

Vamos começar simples, temos cinco bolas:

Qual é a probabilidade de acertar uma bola de cinco? É igual a$\frac{1}{5}$ , existem apenas cinco combinações possíveis para este conjunto de números: ou 5, ou 3, ou 2, ou 4, ou 1.

Para conveniência, vamos designar nossas loterias como "$k\text{de}n$", e quando necessário, substituiremos os números correspondentes.

Vamos dificultar as regras — para ganhar você precisa acertar "2 de 5" ($k=2,n=5$). Agora a chance de acertar é $\frac{1}{10}$, já que existem dez combinações possíveis, aqui estão elas:

É importante notar que a ordem em que os números aparecem em cada combinação não importa para ganhar na loteria.

Na teoria da probabilidade, as cinco bolas acima são na verdade um conjunto de números de 1 a 5. Um conjunto é denotado por chaves { }, e cada combinação individual é chamada de combinação.

Em combinatóriauma combinação de k de n elementos é uma seleção contendo k elementos escolhidos de um conjunto contendo n elementos distintos.

Nas combinações, a ordem dos elementos não importa, $\{1,2\}$ e $\{2,1\}$ são considerados iguais.

Agora podemos escrever tudo isso matematicamente:

Temos um conjunto de 5 bolas $\{1,2,3,4,5\}$. E existem 10 combinações que podem ser formadas de 5 por 2 bolas:

O número total de combinações de n elementos tomados k de cada vez é denotado$C_n^k$(da primeira letra da palavra francesa "combinaison", que significa "combinação") e é lido como "o número de combinações de n elementos tomados k de cada vez". No nosso caso$C_5^2$ — o número de combinações de 5 tomados 2 de cada vez é igual a 10.

Número de combinações

O número de combinações é calculado usando a fórmula:

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$n!$ e $k!$ — são fatoriais dos números correspondentes $n$ e $k$. O fatorial de um número natural $n$ é o produto de todos os números naturais de 1 a $n$ inclusive. Por exemplo, o fatorial de 5 é igual a $5!=1·2·3·4·5=120$.

Vamos verificar nosso resultado para a loteria 2 de 5:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!·3!}=\frac{1·2·3·4·5}{1·2·1·2·3}$

Veja, podemos simplificar o dividendo e o divisor por $(n-k)!$, destaquei com parênteses para ficar mais claro:

$\frac{(1·2·3)·4·5}{1·2·(1·2·3)}=\frac{1·2·3}{1·2·3}·\frac{4·5}{1·2}=\frac{20}{2}=10$

Note que após simplificarmos o dividendo e o divisor, restaram dois números em ambos, ou mais precisamente $k$ números. No dividendo, estes são o produto dos dois maiores números de $n$, e no divisor, o fatorial de $k$. E se quiser calcular a probabilidade de ganhar, não precisa calcular fatoriais completos — basta multiplicar os $k$ maiores elementos de $n$ e dividir pelo fatorial de $k$.

Probabilidade de ganhar

Vamos calcular o número de combinações para a loteria "Sportloto 6 de 45":

$C_{45}^6=\frac{45!}{6!(45-6)!}=\frac{45·44·43·42·41·40}{6·5·4·3·2·1}=\frac{5.864.443.200}{720}=8.145.060$

O conjunto completo de combinações é um sistema completo. Se comprar bilhetes com todas as combinações, é garantido ganhar.

Agora vamos para a probabilidade de ganhar. Se comprar um bilhete da loteria "Sportloto 6 de 45" com uma combinação, sua probabilidade é 1 em 8.145.060. Comprou 2 bilhetes com combinações diferentes — suas chances são 2 em 8.145.060 ou 1 em 4.072.530. Comprou 10 bilhetes mas escreveu a mesma combinação em todos — suas chances são novamente 1 em 8.145.060. Assim, probabilidade é a razão entre suas combinações únicas e o número total de combinações.

Se jogar uma loteria onde precisa acertar números em dois campos, por exemplo, a loteria americana Powerball "5 de 69 + 1 de 26", então precisa multiplicar o número de combinações de "5 de 69" por "1 de 26".

$C_{69}^5=\frac{69!}{5!(69-5)!}=\frac{69·68·67·66·65}{5·4·3·2·1}=\frac{1.348.621.560}{120}=11.238.513$

$C_{26}^1=\frac{26!}{1!(26-1)!}=\frac{26}{1}=26$

$11.238.513·26=292.201.338$

"Sportloto 4 de 20"

Na loteria russa "Sportloto 4 de 20", para ganhar o super prêmio precisa acertar "4 de 20" em dois campos, vamos calcular o número de combinações para um campo:

$C_{20}^4=\frac{20!}{4!(20-4)!}=\frac{20·19·18·17}{4·3·2·1}=\frac{116.280}{24}=4.845$

Obtemos 4.845 combinações, a probabilidade de acertar "4 de 20" é 1 em 4.845, mas como precisamos acertar duas vezes, multiplicamos as probabilidades para obter o número de combinações para dois campos:

$4.845·4.845=23.474.025$

Como vemos, a probabilidade de ganhar "Sportloto 4 de 20" é menor que "Sportloto 6 de 45", 1 em 23 milhões versus 1 em 8 milhões.

Mas pelo menos é realista, vamos ver as regras da loteria russa "Russian Loto":

"Russian Loto"

Barris numerados de 1 a 90 são colocados em um saco. O apresentador retira barris um a um e anuncia seus números. Na rodada 1, ganham os bilhetes onde 5 números em qualquer uma das seis linhas horizontais coincidiram com os números dos barris retirados do saco primeiro. Na rodada 2, ganham os bilhetes onde todos os 15 números de qualquer campo coincidiram com os números dos barris retirados. Se na 15ª rodada todos os quinze números de um dos dois campos do seu bilhete (superior ou inferior) coincidirem com os números dos barris retirados — você ganha o Acumulado.

Então na 15ª rodada precisamos "acertar" "15 de 90". A palavra acertar está entre aspas porque não escolhemos os números nesta loteria, diferente das outras — no "Russian Loto" os números já estão escolhidos. Vamos estimar a probabilidade de acertar "15 de 90":

$C_{90}^{15}=\frac{90!}{15!(90-15)!}=45.795.673.964.460.820$

Como um bilhete tem dois campos (superior e inferior), a probabilidade de ganhar o Acumulado ao comprar um bilhete é:

$\frac{45.795.673.964.460.820}{2}=22.897.836.982.230.410$

A Wikipedia me ajudou a encontrar esta palavra — quadrilhão. A probabilidade de ganhar o acumulado no Russian Loto é de um em vinte e dois quadrilhões. Lembra do problema do trigo e do tabuleiro de xadrez? Este número é da mesma ordem, talvez umas 200 vezes menor. É um número astronômico, irreal.

Quando joga uma loteria comum, por exemplo "6 de 45", você preenche um bilhete e sua combinação participa do sorteio. No Russian Loto, você não preenche o bilhete — compra um bilhete com uma combinação de números já escolhida. Seria justo se pudesse escolher uma combinação de 45 quadrilhões, mas não pode, pois ninguém jamais conseguiria imprimir tantos bilhetes para um único sorteio.

Mas vamos continuar avaliando probabilidades. Próxima loteria é "Sportloto 5 de 36". As regras nos dizem o seguinte:

"Sportloto 5 de 36"

Escolha cinco ou mais números no intervalo de 1 a 36 no campo 1 e um ou mais números no intervalo de 1 a 4 no campo 2. Acertando 5 números no campo 1 e 1 número no campo 2, você ganha o super prêmio. Acertando apenas 5 números no campo 1, ganha o prêmio da categoria "prêmio".

Para ganhar o super prêmio, precisa acertar "5 de 36 e 1 de 4", vamos ver:

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{45.239.040}{120}=376.992$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$376.992·4=1.507.968$

Um em um milhão e meio, há uma chance. Vamos ver a probabilidade de ganhar um prêmio acertando "5 de 36":

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{45.239.040}{120}=376.992$

As chances são ainda maiores.

"6 de 36"

Próxima loteria é "6 de 36", aqui não pode escolher sua própria combinação — terá que comprar o que é oferecido. Vamos ver:

$C_{36}^6=\frac{36!}{6!(36-6)!}=\frac{36·35·34·33·32·31}{6·5·4·3·2·1}=\frac{1.402.410.240}{720}=1.947.792$

"Sportloto 7 de 49"

$C_{49}^7=\frac{49!}{7!(49-7)!}=\frac{49·48·47·46·45·44·43}{7·6·5·4·3·2·1}=\frac{432.938.943.360}{5.040}=85.900.584$

Loteria "Rapido"

Agora vamos para loterias exóticas. A loteria "Rapido". As regras dizem que para ganhar o super prêmio:

Precisa acertar 8 números únicos de 1 a 20 na primeira parte do campo e um número de 1 a 4 na segunda parte.

Obtemos "8 de 20 e 1 de 4"

$C_{20}^8=\frac{20!}{8!(20-8)!}=\frac{20·19·18·17·16·15·14·13}{8·7·6·5·4·3·2·1}=\frac{5.079.110.400}{40.320}=125.970$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$125.970·4=503.880$

A probabilidade de ganhar "Rapido" é 1 em 503.880.

Loteria "Zodiac"

Na loteria "Zodiac" precisa acertar 4 números: o primeiro — de 1 a 31 inclusive, o segundo — de 1 a 12 inclusive, o terceiro — de 0 a 99 inclusive, e o quarto — de 1 a 12 inclusive. Obtemos probabilidades de 1 em 31, 1 em 12, 1 em 100 (pois 0 a 99 inclusive), e novamente 1 em 12. Multiplicamos essas probabilidades:

$31·12·100·12=446.400$

A probabilidade de ganhar o super prêmio na loteria "Zodiac" é 1 em 446.400.

Loteria "Duel"

Uma combinação de sorteio consiste em quatro números: dois números (no intervalo de 1 a 26) para o primeiro campo e dois números (no intervalo de 1 a 26) para o segundo campo.

Para ganhar o super prêmio precisamos acertar "2 de 26 e 2 de 26":

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$325·325=105.625$

A probabilidade de ganhar o super prêmio na loteria "Duel" é 1 em 105.625.