Gewinnchancen der Lotterie

Rechner zur präzisen Bestimmung der Gewinnwahrscheinlichkeit bei verschiedenen Lotterietypen

Der Gewinnchancen-Rechner ist ein spezialisiertes mathematisches Werkzeug, mit dem Sie Ihre Gewinnchancen bei verschiedenen Lotteriespielen präzise bestimmen können. Basierend auf den Prinzipien der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie helfen diese Rechner Spielern, fundierte Entscheidungen bei der Lotterieteilnahme zu treffen.

Moderne Online-Rechner können jedes Lotterieformat verarbeiten — von einfachen Zahlenziehungen bis hin zu komplexen Systemen mit Bonuskugeln und mehreren Trommeln sowie Systemtipps. Das macht sie unverzichtbar für alle, die die Mathematik hinter ihren Gewinnchancen verstehen möchten.

Systemtipps ermöglichen es, Ihre Gewinnchancen durch Abdeckung von mehr Kombinationen zu erhöhen. Durch die Auswahl von mehr Zahlen als für den Gewinn erforderlich, erhält der Spieler mehrere Kombinationen in einem Tippschein.

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Wahrscheinlichkeitstheorie bei Lotterien

Lernen Sie, die Gewinnwahrscheinlichkeit einer Lotterie zu berechnen

Die Gewinnwahrscheinlichkeit der Lotterie hängt von der Anzahl möglicher Kugelkombinationen ab. Wir lernen jetzt, sie selbst zu berechnen — und für alle, die nicht manuell rechnen möchten, gibt es oben einen Online-Rechner.

Wahrscheinlichkeit
— der Grad (relatives Maß, quantitative Bewertung) der Möglichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Fangen wir einfach an, wir haben fünf Kugeln:

12345

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel von fünf zu erraten? Sie beträgt15 , es gibt nur fünf mögliche Kombinationen für diesen Zahlensatz: entweder 5, oder 3, oder 2, oder 4, oder 1.

Der Einfachheit halber bezeichnen wir unsere Lotterien als «k aus n», und bei Bedarf setzen wir die entsprechenden Zahlen ein.

Verschärfen wir die Lotterieregeln — zum Gewinnen müssen Sie «2 aus 5» erraten (k=2,n=5). Jetzt beträgt die Chance 110, da es zehn mögliche Kombinationen gibt, hier sind sie:

12
13
14
15
23
24
25
34
35
45

Es ist wichtig zu beachten, dass die Reihenfolge, in der Zahlen in jeder Kombination erscheinen, für den Lotteriegewinn keine Rolle spielt.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die fünf Kugeln oben tatsächlich eine Menge von Zahlen von 1 bis 5. Eine Menge wird durch geschweifte Klammern { } bezeichnet, und jede einzelne Kombination heißt Kombination.

In der Kombinatorikist eine Kombination von k aus n Elementen eine Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n verschiedenen Elementen.

Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, {1,2} und {2,1} gelten als identisch.

Jetzt können wir das alles mathematisch aufschreiben:

Wir haben eine Menge von 5 Kugeln {1,2,3,4,5}. Und es gibt 10 Kombinationen, die aus 5 zu je 2 Kugeln gebildet werden können:

{1,2}
{1,3}
{1,4}
{1,5}
{2,3}
{2,4}
{2,5}
{3,4}
{3,5}
{4,5}

Die Gesamtzahl der Kombinationen von n Elementen zu je k wird bezeichnet alsCnk(vom ersten Buchstaben des französischen Wortes «combinaison», was «Kombination» bedeutet) und wird gelesen als «die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zu je k». In unserem FallC52 — die Anzahl der Kombinationen von 5 zu je 2 ist gleich 10.

Anzahl der Kombinationen

Die Anzahl der Kombinationen wird mit folgender Formel berechnet:

Cnk=n!k!(n-k)!

n! und k! — sind Fakultäten der entsprechenden Zahlen n und k. Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n einschließlich. Zum Beispiel beträgt die Fakultät von 5 5!=1·2·3·4·5=120.

Überprüfen wir unser Ergebnis für die 2-aus-5-Lotterie:

C52=5!2!(5-2)!=5!2!·3!=1·2·3·4·51·2·1·2·3

Sehen Sie, wir können Dividend und Divisor kürzen durch (n-k)!, ich habe es mit Klammern verdeutlicht:

(1·2·3)·4·51·2·(1·2·3)=1·2·31·2·3·4·51·2=202=10

Beachten Sie, dass nach dem Kürzen von Dividend und Divisor in beiden jeweils zwei Zahlen übrig bleiben, genauer gesagt k Zahlen. Im Dividenden sind das die beiden größten Zahlen aus n, und im Divisor die Fakultät von k. Wenn Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen möchten, müssen Sie keine vollständigen Fakultäten berechnen — es reicht, die k größten Elemente aus n zu multiplizieren und durch die Fakultät von k.

Gewinnwahrscheinlichkeit

Berechnen wir die Anzahl der Kombinationen für die Lotterie «Sportloto 6 aus 45»:

C456=45!6!(45-6)!=45·44·43·42·41·406·5·4·3·2·1=5.864.443.200720=8.145.060

Die Gesamtmenge aller Kombinationen ist ein Vollsystem. Wenn Sie Tippscheine mit allen Kombinationen kaufen, gewinnen Sie garantiert.

Kommen wir zur Gewinnwahrscheinlichkeit. Wenn Sie einen Tippschein der «Sportloto 6 aus 45» mit einer Kombination kaufen, beträgt Ihre Wahrscheinlichkeit 1 zu 8.145.060. Sie kaufen 2 Tippscheine mit verschiedenen Kombinationen — Ihre Chancen sind 2 zu 8.145.060 oder 1 zu 4.072.530. Sie kaufen 10 Tippscheine, schreiben aber dieselbe Kombination auf alle — Ihre Chancen sind wieder 1 zu 8.145.060. Die Wahrscheinlichkeit ist also das Verhältnis Ihrer einzigartigen Kombinationen zur Gesamtzahl der Kombinationen.

Wenn Sie eine Lotterie spielen, bei der Sie Zahlen in zwei Spielfeldern erraten müssen, z.B. die amerikanische Lotterie Powerball «5 aus 69 + 1 aus 26», müssen Sie die Kombinationsanzahl von «5 aus 69» mit «1 aus 26» multiplizieren.

C695=69!5!(69-5)!=69·68·67·66·655·4·3·2·1=1.348.621.560120=11.238.513

C261=26!1!(26-1)!=261=26

11.238.513·26=292.201.338

«Sportloto 4 aus 20»

Bei der russischen Lotterie «Sportloto 4 aus 20» muss man für den Jackpot «4 aus 20» in zwei Feldern erraten. Berechnen wir die Kombinationsanzahl für ein Feld:

C204=20!4!(20-4)!=20·19·18·174·3·2·1=116.28024=4.845

Wir erhalten 4.845 Kombinationen, die Wahrscheinlichkeit «4 aus 20» zu erraten ist 1 zu 4.845, aber da wir zweimal erraten müssen, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten für zwei Felder:

4.845·4.845=23.474.025

Wie wir sehen, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit von «Sportloto 4 aus 20» niedriger als «Sportloto 6 aus 45»: 1 zu 23 Millionen gegenüber 1 zu 8 Millionen.

Aber immerhin realistisch. Schauen wir uns die Regeln der russischen Lotterie «Russisches Loto» an:

«Russisches Loto»

Fässchen mit den Nummern 1 bis 90 werden in einen Beutel geladen. Der Moderator zieht Fässchen einzeln und verkündet ihre Nummern. In Runde 1 gewinnen Lose, bei denen 5 Zahlen in einer beliebigen der sechs horizontalen Reihen mit den gezogenen Fässchen übereinstimmen. In Runde 2 gewinnen Lose, bei denen alle 15 Zahlen eines Feldes mit den gezogenen Fässchen übereinstimmen. Wenn beim fünfzehnten Zug alle fünfzehn Zahlen eines der beiden Spielfelder Ihres Loses (öberes oder unteres) mit den gezogenen Fässchen übereinstimmen — gewinnen Sie den Jackpot.

Es stellt sich heraus, dass wir beim 15. Zug «15 aus 90» «erraten» müssen. Das Wort erraten steht in Anführungszeichen, denn bei dieser Lotterie wählen wir die Zahlen nicht selbst — beim «Russischen Loto» sind die Zahlen bereits festgelegt. Schätzen wir die Wahrscheinlichkeit, «15 aus 90» zu erraten:

C9015=90!15!(90-15)!=45.795.673.964.460.820

Da ein Los zwei Spielfelder hat (oberes und unteres), beträgt die Jackpot-Gewinnwahrscheinlichkeit beim Kauf eines Loses:

45.795.673.964.460.8202=22.897.836.982.230.410

Wikipedia half mir dieses Wort zu finden — Billiarde. Die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot beim Russischen Loto zu gewinnen, beträgt eins zu zweiundzwanzig Billiarden. Erinnern Sie sich an das Weizenkornproblem? Diese Zahl ist von derselben Größenordnung, vielleicht etwa 200-mal kleiner. Es ist eine astronomische, irreale Zahl.

Wenn Sie eine normale Lotterie spielen, z.B. «6 aus 45», füllen Sie einen Tippschein aus und Ihre Kombination nimmt an der Ziehung teil. Beim Russischen Loto füllen Sie keinen Tippschein aus — Sie kaufen ein Los mit einer bereits gewählten Zahlenkombination. Es wäre fair, wenn Sie eine Kombination aus 45 Billiarden wählen könnten, aber das geht nicht, da niemand jemals so viele Lose für eine einzelne Ziehung drucken kann.

Aber fahren wir mit der Bewertung der Wahrscheinlichkeiten fort. Nächste Lotterie: «Sportloto 5 aus 36». Die Regeln besagen:

«Sportloto 5 aus 36»

Wählen Sie fünf oder mehr Zahlen im Bereich von 1 bis 36 in Feld 1 und eine oder mehr Zahlen im Bereich von 1 bis 4 in Feld 2. Wenn Sie 5 Zahlen in Feld 1 und 1 Zahl in Feld 2 erraten, gewinnen Sie den Jackpot. Wenn Sie nur 5 Zahlen in Feld 1 erraten, gewinnen Sie die Gewinnklasse «Gewinn».

Für den Jackpot muss man «5 aus 36 und 1 aus 4» erraten, schauen wir:

C365=36!5!(36-5)!=36·35·34·33·325·4·3·2·1=45.239.040120=376.992

C41=4!1!(4-1)!=41=4

376.992·4=1.507.968

Eins zu anderthalb Millionen, da besteht eine Chance. Betrachten wir die Gewinnwahrscheinlichkeit bei «5 aus 36»:

C365=36!5!(36-5)!=36·35·34·33·325·4·3·2·1=45.239.040120=376.992

Die Chancen sind sogar höher.

«6 aus 36»

Nächste Lotterie: «6 aus 36», hier können Sie keine eigene Kombination wählen — Sie müssen kaufen, was angeboten wird. Schauen wir:

C366=36!6!(36-6)!=36·35·34·33·32·316·5·4·3·2·1=1.402.410.240720=1.947.792

«Sportloto 7 aus 49»

C497=49!7!(49-7)!=49·48·47·46·45·44·437·6·5·4·3·2·1=432.938.943.3605.040=85.900.584

Lotterie «Rapido»

Kommen wir zu exotischen Lotterien. Die Lotterie «Rapido». Die Regeln besagen, um den Jackpot zu gewinnen:

Sie müssen 8 einzigartige Zahlen von 1 bis 20 im ersten Teil des Spielfeldes und eine Zahl von 1 bis 4 im zweiten Teil erraten.

Wir erhalten «8 aus 20 und 1 aus 4»

C208=20!8!(20-8)!=20·19·18·17·16·15·14·138·7·6·5·4·3·2·1=5.079.110.40040.320=125.970

C41=4!1!(4-1)!=41=4

125.970·4=503.880

Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei «Rapido» beträgt 1 zu 503.880.

Lotterie «Zodiac»

Bei der Lotterie «Zodiac» müssen Sie 4 Zahlen erraten: die erste — von 1 bis 31 einschließlich, die zweite — von 1 bis 12, die dritte — von 0 bis 99, und die vierte — von 1 bis 12. Die Wahrscheinlichkeiten sind 1 zu 31, 1 zu 12, 1 zu 100 (da 0 bis 99 einschließlich) und wieder 1 zu 12. Wir multiplizieren:

31·12·100·12=446.400

Die Jackpot-Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Lotterie «Zodiac» beträgt 1 zu 446.400.

Lotterie «Duell»

Eine Ziehungskombination besteht aus vier Zahlen: zwei Zahlen (im Bereich von 1 bis 26) für das erste Feld und zwei Zahlen (im Bereich von 1 bis 26) für das zweite Feld.

Für den Jackpot müssen wir «2 aus 26 und 2 aus 26» erraten:

C262=26!2!(26-2)!=26·252·1=6502=325

C262=26!2!(26-2)!=26·252·1=6502=325

325·325=105.625

Die Jackpot-Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Lotterie «Duell» beträgt 1 zu 105.625.

Systemtipps bei Lotterien

So berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit mit einem Systemtipp

Die Wahrscheinlichkeitsberechnung für Systemtipps erfolgt mit folgender Formel:

P(A)=CMmCN-Mn-mCNn

Um diese Formel besser zu verstehen, stellen Sie sich vor, wir spielen eine «M aus N»-Lotterie, markieren n Zahlen auf dem Tippschein und hoffen, m Zahlen richtig zu tippen.

Ein weiterer wichtiger Hinweis! Wenn bei der Lotterieziehung Bonuskugeln aus der Haupttrommel gezogen werden, wird die Wahrscheinlichkeit mit einer anderen Formel berechnet.

Diese Formel eignet sich für «klassische» Lotterien mit einer Trommel, zum Beispiel:

und für Lotterien mit zwei Trommeln, vorausgesetzt Sie berechnen die Wahrscheinlichkeit für jede Trommel separat:

Berechnung eines Systemtipps

Nehmen wir eine «6 aus 45»-Lotterie, markieren 10 Zahlen auf dem Tippschein mit dem Ziel, 5 richtig zu tippen.

P(A)=C65C45-610-5C4510=C65C395C4510

Anzahl der Kombinationen ermitteln:

C65=6!5!(6-5)!=1·2·3·4·5·61·2·3·4·5=720120=6

C395=39!5!(39-5)!=35·36·37·38·391·2·3·4·5=69.090.840120=575.757

C4510=45!10!(45-10)!=36·3744·451·29·10=3.190.187.286

P(A)=6·575.7573.190.187.28619230,108%

Die Wahrscheinlichkeit, 5 Zahlen in einer «6 aus 45»-Lotterie zu erraten, bei 10 markierten Zahlen, beträgt ca. 1 zu 923.

Wahrscheinlichkeit für Nebengewinne

Diese Formel ermöglicht auch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Nebengewinnen bei einem Standardtipp. Berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für einen, zwei und drei Treffer in einem Feld von «Sportloto 4 aus 20».

4 Zahlen in einem Feld markiert, die Chance einen Treffer zu landen ist 1 zu 2:

P(A)=C41C163C204=4·5604.8451246,233%

Zwei Treffer — fast 1 zu 7:

P(A)=C42C162C204=6·1204.8451714,861%

Drei Zahlen — 1 zu 76:

P(A)=C43C161C204=4·164.8451761,321%

Und alle 4 Zahlen richtig — 1 zu 4.845:

P(A)=C44C160C204=1·14.84514.8450,021%

Lotterien mit zwei Feldern

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit nur für ein Feld berechnet wird. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit bei zwei Feldern müssen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Feldes mit der des anderen multiplizieren.

Systemtipps für «Sportloto 4 aus 20»

Tabelle Systemtipps für ein Feld von «Sportloto 4 aus 20»
Richtig tippenMarkierte ZahlenGewinnchancen
44
1 :4.845
34
1 :76
24
1 :6.72
14
1 :2.16
04
1 :2.66
45
1 :969
35
1 :32
25
1 :4.61
15
1 :2.12
05
1 :3.54
46
1 :323
36
1 :17.30
26
1 :3.54
16
1 :2.21
06
1 :4.84
47
1 :138
37
1 :10.64
27
1 :2.95
17
1 :2.42
07
1 :6.77
48
1 :69
38
1 :7.20
28
1 :2.62
18
1 :2.75
08
1 :9.78
49
1 :38
39
1 :5.24
29
1 :2.44
19
1 :3.26
09
1 :14.68
410
1 :23
310
1 :4.03
210
1 :2.39
110
1 :4.03
010
1 :23
411
1 :14.68
311
1 :3.26
211
1 :2.44
111
1 :5.24
011
1 :38
412
1 :9.78
312
1 :2.75
212
1 :2.62
112
1 :7.20
012
1 :69
413
1 :6.77
313
1 :2.42
213
1 :2.95
113
1 :10.64
013
1 :138
414
1 :4.84
314
1 :2.21
214
1 :3.54
114
1 :17.30
014
1 :323
415
1 :3.54
315
1 :2.12
215
1 :4.61
115
1 :32
015
1 :969
416
1 :2.66
316
1 :2.16
216
1 :6.72
116
1 :76
016
1 :4.845
417
1 :2.03
317
1 :2.37
217
1 :11.87
117
1 :285
017
1 :

Systemtipps für «Sportloto 5 aus 36»

Tabelle Systemtipps für das Hauptfeld von «Sportloto 5 aus 36»
Richtig tippenMarkierte ZahlenGewinnchancen
55
1 :376.992
45
1 :2.432
35
1 :81
25
1 :8.38
15
1 :2.39
05
1 :2.21
56
1 :62.832
46
1 :838
36
1 :43
26
1 :6.19
16
1 :2.29
06
1 :2.64
57
1 :17.952
47
1 :371
37
1 :27
27
1 :4.91
17
1 :2.26
07
1 :3.17
58
1 :6.732
48
1 :192
38
1 :17.80
28
1 :4.10
18
1 :2.30
08
1 :3.83
59
1 :2.992
49
1 :111
39
1 :12.78
29
1 :3.58
19
1 :2.38
09
1 :4.66
510
1 :1.496
410
1 :69
310
1 :9.66
210
1 :3.22
110
1 :2.52
010
1 :5.73
511
1 :816
411
1 :46
311
1 :7.61
211
1 :2.98
111
1 :2.70
011
1 :7.09
Tabelle Systemtipps für das Zusatzfeld von «Sportloto 5 aus 36»
Richtig tippenMarkierte ZahlenGewinnchancen
11
1 :4
01
1 :1.33
12
1 :2
02
1 :2
13
1 :1.33
03
1 :4
14
1 :1
04
1 :

Systemtipps für «Sportloto 6 aus 45»

Tabelle Systemtipps für «Sportloto 6 aus 45»
Richtig tippenMarkierte ZahlenGewinnchancen
66
1 :8.145.060
56
1 :34.808
46
1 :733
36
1 :45
26
1 :6.60
16
1 :2.35
06
1 :2.49
67
1 :1.163.580
57
1 :10.207
47
1 :331
37
1 :28
27
1 :5.25
17
1 :2.31
07
1 :2.95
68
1 :290.895
58
1 :3.931
48
1 :175
38
1 :18.71
28
1 :4.40
18
1 :2.33
08
1 :3.50
69
1 :96.965
59
1 :1.796
49
1 :103
39
1 :13.58
29
1 :3.84
19
1 :2.40
09
1 :4.18
610
1 :38.786
510
1 :923
410
1 :65
310
1 :10.37
210
1 :3.45
110
1 :2.50
010
1 :5.01
611
1 :17.630
511
1 :519
411
1 :44
311
1 :8.24
211
1 :3.19
111
1 :2.66
011
1 :6.05
612
1 :8.815
512
1 :312
412
1 :31
312
1 :6.78
212
1 :3.01
112
1 :2.85
012
1 :7.35
613
1 :4.747
513
1 :198
413
1 :23
313
1 :5.74
213
1 :2.90
113
1 :3.11
013
1 :8.98

Systemtipps für «Sportloto 7 aus 49»

Tabelle Systemtipps für «Sportloto 7 aus 49»
Richtig tippenMarkierte ZahlenGewinnchancen
77
1 :85.900.584
67
1 :292.179
57
1 :4.751
47
1 :214
37
1 :22
27
1 :4.80
17
1 :2.33
07
1 :3.18
78
1 :10.737.573
68
1 :74.826
58
1 :1.871
48
1 :115
38
1 :15.14
28
1 :4.09
18
1 :2.38
08
1 :3.82
79
1 :2.386.127
69
1 :25.566
59
1 :874
49
1 :69
39
1 :11.18
29
1 :3.62
19
1 :2.48
09
1 :4.60
710
1 :715.838
610
1 :10.488
510
1 :460
410
1 :45
310
1 :8.70
210
1 :3.31
110
1 :2.63
010
1 :5.58
711
1 :260.305
611
1 :4.893
511
1 :264
411
1 :31
311
1 :7.05
211
1 :3.11
111
1 :2.82
011
1 :6.80
712
1 :108.460
612
1 :2.513
512
1 :163
412
1 :22
312
1 :5.91
212
1 :2.98
112
1 :3.07
012
1 :8.34
713
1 :50.059
613
1 :1.391
513
1 :106
413
1 :16.82
313
1 :5.09
213
1 :2.92
113
1 :3.39
013
1 :10.29
714
1 :25.029
614
1 :817
514
1 :72
414
1 :13.11
314
1 :4.50
214
1 :2.90
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