Шансы выиграть в лотерею

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, выше есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность

— степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется$\frac{1}{5}$ , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5, либо 3, либо 2, либо 4, либо 1.

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать «$k\text{из}n$», а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ($k=2,n=5$). Теперь шанс угадать составляет $\frac{1}{10}$, так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

Важно отметить, что для выигрыша в лотерею порядок выпадения чисел в каждой комбинации не имеет значения.

В теории вероятностей вышеприведённые пять шаров на самом деле являются множеством чисел от 1 до 5. Множество обозначается фигурными скобками { }, а каждая отдельная комбинация называется сочетанием.

В комбинаторикесочетанием k из n элементов называется комбинация, содержащая k элементов, выбранных из множества, содержащего n различных элементов.

В сочетаниях не учитывается порядок элементов, $\{1,2\}$ и $\{2,1\}$ считаются одинаковыми.

Теперь всё это мы можем записать математически:

У нас есть множество из 5 шаров $\{1,2,3,4,5\}$. И есть 10 сочетаний, которые можно составить из 5 по 2 шара:

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается$C_n^k$(от начальной буквы французского слова "combinasion", что значит "сочетание") и читается как «число сочетаний из n элементов по k». В нашем случае$C_5^2$ — число сочетаний из 5 по 2 равно 10.

Число сочетаний

Число сочетаний рассчитывается по формуле:

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$n!$ и $k!$ — это факториалы соответствующих чисел $n$ и $k$. Факториал натурального числа $n$ это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Например, факториал числа 5 равен $5!=1·2·3·4·5=120$.

Давайте проверим наш результат для лотереи 2 из 5:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!·3!}=\frac{1·2·3·4·5}{1·2·1·2·3}$

Смотрите, мы можем сократить делимое и делитель на $(n-k)!$, я выделил скобками, чтобы было понятней:

$\frac{(1·2·3)·4·5}{1·2·(1·2·3)}=\frac{1·2·3}{1·2·3}·\frac{4·5}{1·2}=\frac{20}{2}=10$

Обратите внимание, что после того как мы сократили делимое и делитель, у нас осталось по два числа в делимом и делителе, а точнее по $k$ чисел. В делимом это произведение двух самых больших чисел из $n$, а в делителе факториал числа $k$. И если вы хотите посчитать вероятность выигрыша, вам не надо считать полностью факториалы, а достаточно перемножить $k$ самых больших элементов из $n$ и разделить на факториал $k$.

Вероятность выигрыша

Давайте посчитаем количество комбинаций для лотереи «Спортлото «6 из 45»:

$C_{45}^6=\frac{45!}{6!(45-6)!}=\frac{45·44·43·42·41·40}{6·5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{5 864 443 200}}{720}=\mathrm{8 145 060}$

Весь набор сочетаний — это полная система. Если вы купите билеты со всеми комбинациями, то вы гарантированно выиграете.

Теперь перейдем к вероятности выигрыша, если вы покупаете билет лотереи «Спортлото «6 из 45» с одной комбинацией, то вероятность у вас 1 к 8 145 060. Вы взяли 2 билета с разными комбинациями — ваши шансы равны 2 к 8 145 060 или 1 к 4 072 530. Взяли 10 билетов, но везде записали одну и ту же комбинацию — ваши шансы снова 1 к 8 145 060. Таким образом, вероятность — это отношение количества ваших уникальных комбинаций к общему количеству комбинаций.

Если вы играете в лотерею, в которой надо угадать правильно числа в двух игровых полях, например, в американскую лотерею Powerball «5 из 69 + 1 из 26», то вам необходимо перемножить количество комбинаций «5 из 69» на «1 из 26».

$C_{69}^5=\frac{69!}{5!(69-5)!}=\frac{69·68·67·66·65}{5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{1 348 621 560}}{120}=\mathrm{11 238 513}$

$C_{26}^1=\frac{26!}{1!(26-1)!}=\frac{26}{1}=26$

$\mathrm{11 238 513}·26=\mathrm{292 201 338}$

«Спортлото «4 из 20»

В российской лотерее «Спортлото «4 из 20» для выигрыша суперприза необходимо в двух полях угадать по «4 из 20», вычисляем количество комбинаций для одного поля:

$C_{20}^4=\frac{20!}{4!(20-4)!}=\frac{20·19·18·17}{4·3·2·1}=\frac{\mathrm{116 280}}{24}=\mathrm{4 845}$

Получаем 4 845 комбинаций, вероятность угадать «4 из 20» равна 1 к 4 845, но так как нам необходимо два раза угадать, то мы перемножаем вероятности, чтобы получить количество комбинаций для двух полей:

$\mathrm{4 845}·\mathrm{4 845}=\mathrm{23 474 025}$

Как мы видим, вероятность выиграть в «Спортлото «4 из 20» меньше чем в «Спортлото «6 из 45», 1 к 23 миллионам против 1 к 8 миллионам.

Но это хотя бы реально, давайте взглянем на правила российской лотереи «Русское лото»:

«Русское лото»

В мешок загружают бочонки, пронумерованные от 1 до 90. Ведущий достает бочонки по одному и называет их номера. В 1-м туре выигрывают билеты, в которых 5 чисел в любой из шести горизонтальных строк раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Во 2-м туре выигрывают билеты, в которых все 15 чисел в любом из полей раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Если у вас на пятнадцатом ходу все пятнадцать чисел одного из двух игровых полей билета (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка, — вы выиграли Джекпот.

Получается, что на 15-ом ходу мы должны "угадать" «15 из 90». Слово угадать взято в кавычки, так как мы не выбираем числа в этой лотерее, в отличие от других, в «Русском лото» цифры уже выбраны. Давайте оценим вероятность угадать «15 из 90»:

$C_{90}^{15}=\frac{90!}{15!(90-15)!}=\mathrm{45 795 673 964 460 820}$

Так как в одном билете есть два игровых поля (верхнее и нижнее), то вероятность выиграть Джекпот при покупке одного билета составляет:

$\frac{\mathrm{45 795 673 964 460 820}}{2}=\mathrm{22 897 836 982 230 410}$

Википедия подсказала мне это слово — квадриллио́н. Вероятность выиграть джекпот в Русском лото один к двадцати двум квадриллионам. Помните задачу о зёрнах на шахматной доске? Эта цифра такого же порядка, ну может раз в 200 поменьше. Это астрономическая цифра, нереальная.

Когда вы играете в обычную лотерею, например «6 из 45», вы заполняете билет и ваша комбинация участвует в розыгрыше. В Русском лото вы не заполняете билет, вы покупаете билет с уже готовой комбинацией чисел. Было бы честно, если бы вы могли выбрать одну свою комбинацию из 45 квадриллионов, но вы не сможете, так как никто и никогда не сможет напечатать такое количество билетов для одного тиража.

Но давайте пойдём дальше оценивать вероятности. Следующая лотерея «Спортлото «5 из 36». Правила нам говорят следующее:

«Спортлото «5 из 36»

Выберите от пяти чисел в диапазоне от 1 до 36 в поле 1 и от одного числа в диапазоне от 1 до 4 в поле 2. Угадав 5 чисел в поле 1 и 1 число в поле 2, вы получаете суперприз. Угадав только 5 чисел в поле 1, вы получаете выигрыш категории «приз».

Для выигрыша суперприза необходимо угадать «5 из 36 и 1 из 4», смотрим:

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{45 239 040}}{120}=\mathrm{376 992}$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$\mathrm{376 992}·4=\mathrm{1 507 968}$

Один к полутора миллионам, шансы есть. Посмотрим вероятность выиграть приз при угадывании «5 из 36»:

$C_{36}^5=\frac{36!}{5!(36-5)!}=\frac{36·35·34·33·32}{5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{45 239 040}}{120}=\mathrm{376 992}$

Шансы ещё выше.

«6 из 36»

Следующая лотерея «6 из 36», здесь вы не сможете самостоятельно выбрать комбинацию, придётся покупать что предложат. Смотрим:

$C_{36}^6=\frac{36!}{6!(36-6)!}=\frac{36·35·34·33·32·31}{6·5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{1 402 410 240}}{720}=\mathrm{1 947 792}$

«Спортлото «7 из 49»

$C_{49}^7=\frac{49!}{7!(49-7)!}=\frac{49·48·47·46·45·44·43}{7·6·5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{432 938 943 360}}{\mathrm{5 040}}=\mathrm{85 900 584}$

Лотерея «Рапидо»

Теперь перейдём к экзотическим лотереям. Лотерея «Рапидо». Правила говорят, что для выигрыша суперприза:

Вам надо угадать 8 неповторяющихся чисел от 1 до 20 в первой части игрового поля и одно число от 1 до 4 — во второй части.

Получаем «8 из 20 и 1 из 4»

$C_{20}^8=\frac{20!}{8!(20-8)!}=\frac{20·19·18·17·16·15·14·13}{8·7·6·5·4·3·2·1}=\frac{\mathrm{5 079 110 400}}{\mathrm{40 320}}=\mathrm{125 970}$

$C_4^1=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{4}{1}=4$

$\mathrm{125 970}·4=\mathrm{503 880}$

Вероятность выигрыша в «Рапидо» составляет 1 к 503 880.

Лотерея «Зодиак»

В лотерее «Зодиак» необходимо угадать 4 числа: первое — от 1 до 31 включительно, второе — от 1 до 12 включительно, третье — от 0 до 99 включительно и четвертое — от 1 до 12 включительно. Мы получаем вероятности 1 из 31, 1 из 12, 1 из 100 (так как от 0 до 99 включительно) и снова 1 из 12. Перемножаем эти вероятности:

$31·12·100·12=\mathrm{446 400}$

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Зодиак» составляет 1 к 446 400.

Лотерея «Дуэль»

Комбинация тиража состоит из четырех чисел: два числа (в диапазоне от 1 до 26) для первого поля и два числа (в диапазоне от 1 до 26) — для второго.

Чтобы выиграть суперприз мы должны угадать «2 из 26 и 2 из 26»:

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$C_{26}^2=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26·25}{2·1}=\frac{650}{2}=325$

$325·325=\mathrm{105 625}$

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Дуэль» составляет 1 к 105 625.