Развёрнутая ставка

Мы уже научились рассчитывать вероятность выигрыша в лотерею , и для удобства я сделал онлайн калькулятор расчёта вероятностей . А сегодня мы научимся рассчитывать вероятность при использовании развёрнутых ставок.

Расчёт вероятности при использовании развернутых ставок производится по следующей формуле:

\(P(A) = \frac{ C_{M}^{m}C_{N - M}^{n - m} }{C_{N}^{n}}\)

Что бы легче было понять эту формулу представьте себе, что мы играем в лотерею «M из N», отмечаем в билете n номеров и надеемся правильно угадать m номеров.

Ещё одно важное примечание! Если при розыгрыше лотереи из основного лототрона достают бонусные шары, то вероятность считается по другой формуле.

Эта формула подойдет для "классических" лотерей с одним лототроном, например:

• 5 из 28 (Chispazo)
• 5 из 35 (Cash Five)
• Спортлото «6 из 45»
• 6 из 54 (Lotto Texas Extra)
• Спортлото «7 из 49»

и для лотерей с двумя лототронами, например:

• Спортлото «4 из 20»
• 4 из 35 + 1 из 35 (Texas Two Step)
• 5 из 50 + 2 из 10 (EuroJackpot)
• 5 из 50 + 2 из 12 (EuroMillions)
• 5 из 69 + 1 из 26 (Powerball)
• 5 из 70 + 1 из 25 (Mega Millions)

Произведём расчёт развернутой ставки

Пусть будет лотерея «6 из 45», отмечаем в билете 10 номеров, желаем угадать 5.

\(P(A) = \frac{C_{6}^{5}C_{45-6}^{10-5}}{C_{45}^{10}} = \frac{C_{6}^{5}C_{39}^{5}}{C_{45}^{10}}\)

Мы уже научились находить количество сочетаний :

\(C_{6}^{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{720}{120} = 6\)

\(C_{39}^{5} = \frac{39!}{5!(39-5)!} = \frac{35 \cdot 36 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{69,090,840}{120} = 575,757\)

\(C_{45}^{10} = \frac{45!}{10!(45-10)!} = \frac{36 \cdot 37 \cdot 38 \cdot 39 \cdot 40 \cdot 41 \cdot 42 \cdot 43 \cdot 44 \cdot 45}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{11,576,551,623,436,800}{3,628,800} = 3,190,187,286\)

\(P(A) = \frac{C_{6}^{5}C_{45-6}^{10-5}}{C_{45}^{10}} = \frac{C_{6}^{5}C_{39}^{5}}{C_{45}^{10}} = \frac{6 \cdot 575,757}{3,190,187,286} \approx \frac{1}{923} \approx 0,108 \%\)

Вероятность угадать 5 чисел в лотерее «6 из 45», отметив в билете 10 номеров, приблизительно равна 1 к 923.

Вероятность выиграть второстепенные призы

Эта формула также позволяет вычислить вероятность второстепенных призов при стандартной ставке. Посчитаем вероятности угадать одно, два и три числа в одном поле в «Спортлото «4 из 20».

Отметим в одном поле 4 номера, шанс правильно угадать один номер составляет 1 к 2:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{1}C_{20-4}^{4-1}}{C_{20}^{4}} = \frac{C_{1}^{4}C_{16}^{3}}{C_{20}^{4}} = \frac{4 \cdot 560}{4,845} \approx \frac{1}{2} \approx 46,233 \% \)

Угадать правильно два номера почти 1 к 7:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{2}C_{20-4}^{4-2}}{C_{20}^{4}} = \frac{C_{4}^{2}C_{16}^{2}}{C_{20}^{4}} = \frac{6 \cdot 120}{4,845} \approx \frac{1}{7} \approx 14,861 \% \)

Три номера 1 к 76:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{3}C_{20-4}^{4-3}}{C_{20}^{4}} = \frac{C_{4}^{3}C_{16}^{1}}{C_{20}^{4}} = \frac{4 \cdot 16}{4,845} \approx \frac{1}{76} \approx 1,321 \% \)

А правильно угадать 4 числа 1 к 4 845:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{4}C_{20-4}^{4-4}}{C_{20}^{4}} = \frac{C_{4}^{4}C_{16}^{0}}{C_{20}^{4}} = \frac{1 \cdot 1}{4,845} \approx \frac{1}{4,845} \approx 0,021 \% \)

Развёрнутые ставки для лотереи «Спортлото «4 из 20»

Учтите, что вероятность считается только для одного поля из двух, если вы хотите получить вероятность для двух полей, то необходимо умножить вероятность одного поля на вероятность другого. Так вы найдёте общую вероятность.

Отмечаем в одном поле 5 чисел, пытаемся угадать 4 числа, вероятность составляет 1 к 969:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{4}C_{20-4}^{5-4}}{C_{20}^{5}} = \frac{C_{4}^{4}C_{16}^{1}}{C_{20}^{5}} = \frac{1 \cdot 16}{15,504} \approx \frac{1}{969} \approx 0,103 \% \)

Отмечаем в одном поле 6 чисел, пытаемся угадать 4 числа, вероятность составляет 1 к 323:

\(P(A) = \frac{C_{4}^{4}C_{20-4}^{6-4}}{C_{20}^{6}} = \frac{C_{4}^{4}C_{16}^{2}}{C_{20}^{6}} = \frac{1 \cdot 120}{38,760} \approx \frac{1}{323} \approx 0,310 \% \)

Но, наверное, проще всё это показать в таблице:

Развёрнутые ставки для лотереи «Спортлото «5 из 36»

Развёрнутые ставки для лотереи «Спортлото «6 из 45»

Развёрнутые ставки для лотереи «Спортлото «7 из 49»