Развёрнутая ставка

В прошлой статье мы научились рассчитывать вероятность выигрыша в лотерею, и для удобства я сделал онлайн калькулятор рассчёта вероятностей. А сегодня мы научимся рассчитывать вероятность при использовании развёрнутых ставок.

Рассчёт вероятности при использовании развернутых ставок производится по следующей формуле:

P(A)=CMmCNMnmCNnP(A) = \frac{ C_{M}^{m}C_{N - M}^{n - m} }{C_{N}^{n}}

Что бы легче было понять эту формулу представьте себе, что мы играем в лотерею «M из N», отмечаем в билете n номеров и надеемся правильно угадать m номеров.

Ещё одно важное примечание! Если при розыгрыше лотереи из основного лототрона достают бонусные шары, то вероятность считается по другой формуле.

Эта формула подойдет для "классических" лотерей с одним лототроном, например:

и для лотерей с двумя лототронами, например:

Произведём рассчёт развернутой ставки

Пусть будет лотерея «6 из 45», отмечаем в билете 10 номеров, желаем угадать 5.

P(A)=C65C456105C4510=C65C395C4510P(A) = \frac{C_{6}^{5}C_{45-6}^{10-5}}{C_{45}^{10}} = \frac{C_{6}^{5}C_{39}^{5}}{C_{45}^{10}}

Ранее мы научились находить количество сочетаний:

C65=6!5!(65)!=6543254321=720120=6C_{6}^{5} = \dfrac{6!}{5!(6-5)!} = \dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \dfrac{720}{120} = {6}

C395=39!5!(395)!=393837363554321=69,090,840120=575,757C_{39}^{5} = \dfrac{39!}{5!(39-5)!} = \dfrac{39\cdot38\cdot37\cdot36\cdot35}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \dfrac{69,090,840}{120} = {575,757}

C4510=45!10!(4510)!=4544434241403938373610987654321=11,576,551,623,436,8003,628,800=3,190,187,286C_{45}^{10} = \dfrac{45!}{10!(45-10)!} = \dfrac{45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \dfrac{11,576,551,623,436,800}{3,628,800} = {3,190,187,286}

P(A)=C65C456105C4510=C65C395C4510=6575,7573,190,187,28619231 к 923.48P(A) = \dfrac{ C_{ 6 }^{ 5 } \cdot C_{ 45 - 6 }^{ 10 - 5 } } { C_{ 45 }^{ 10 } } = \dfrac{ C_{ 6 }^{ 5 } \cdot C_{ 39 }^{ 5 } } { C_{ 45 }^{ 10 } } = \dfrac { 6 \cdot 575,757 } { 3,190,187,286 } \approx \dfrac {1} { 923 } \approx 1 ~ к ~ 923.48

Вероятность угадать 5 чисел в лотерее «6 из 45», отметив в билете 10 номеров, приблизительно равна 1 к 923.

Вероятность выиграть второстепенные призы

Эта формула позволяет вычислить вероятность второстепенных призов при стандартной ставке. Посчитаем вероятности угадать одно, два и три числа в одном поле в «Гослото «4 из 20».

Отметим в одном поле 4 номера, шанс правильно угадать один номер составляет 1 к 2:

P(A)=C41C20441C204=C41C163C204=45604,845121 к 2.16P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 1 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 4 - 1 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 1 } \cdot C_{ 16 }^{ 3 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac { 4 \cdot 560 } { 4,845 } \approx \dfrac {1} { 2 } \approx 1 ~ к ~ 2.16

Угадать правильно два номера почти 1 к 7:

P(A)=C42C20442C204=C42C162C204=61204,845171 к 6.73P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 2 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 4 - 2 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 2 } \cdot C_{ 16 }^{ 2 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac { 6 \cdot 120 } { 4,845 } \approx \dfrac {1} { 7 } \approx 1 ~ к ~ 6.73

Три номера 1 к 76:

P(A)=C43C20443C204=C43C161C204=4164,8451761 к 75.7P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 3 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 4 - 3 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 3 } \cdot C_{ 16 }^{ 1 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac { 4 \cdot 16 } { 4,845 } \approx \dfrac {1} { 76 } \approx 1 ~ к ~ 75.7

А правильно угадать 4 числа 1 к 4 845:

P(A)=C44C20444C204=C44C160C204=114,845148451 к 4,845P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 4 - 4 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 16 }^{ 0 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac { 1 \cdot 1 } { 4,845 } \approx \dfrac {1} { 4845 } \approx 1 ~ к ~ 4,845

Развёрнутые ставки для лотереи «Гослото «4 из 20»

Учтите, что вероятность считается только для одного поля из двух, если вы хотите получить вероятность для двух полей, то необходимо умножить вероятность одного поля на вероятность другого. Так вы найдёте общую вероятность.

Отмечаем в одном поле 5 чисел, пытаемся угадать 4 числа, вероятность составляет 1 к 969:

P(A)=C44C20454C205=C44C161C205=11615,50419691 к 969P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 5 - 4 } } { C_{ 20 }^{ 5 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 16 }^{ 1 } } { C_{ 20 }^{ 5 } } = \dfrac { 1 \cdot 16 } { 15,504 } \approx \dfrac {1} { 969 } \approx 1 ~ к ~ 969

Отмечаем в одном поле 6 чисел, пытаемся угадать 4 числа, вероятность составляет 1 к 323:

P(A)=C44C20464C206=C44C162C206=112038,76013231 к 323P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 6 - 4 } } { C_{ 20 }^{ 6 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 4 } \cdot C_{ 16 }^{ 2 } } { C_{ 20 }^{ 6 } } = \dfrac { 1 \cdot 120 } { 38,760 } \approx \dfrac {1} { 323 } \approx 1 ~ к ~ 323

Но, наверное, проще всё это показать в таблице:

Таблица развёрнутых ставок для одного поля лотереи «Гослото «4 из 20»
Хотим угадать Отмечено номеров Вероятность
1 4 1 : 2.16
2 4 1 : 6.73
3 4 1 : 75.7
4 4 1 : 4,845
1 5 1 : 2.13
2 5 1 : 4.61
3 5 1 : 32.3
4 5 1 : 969
1 6 1 : 2.22
2 6 1 : 3.55
3 6 1 : 17.3
4 6 1 : 323
1 7 1 : 2.42
2 7 1 : 2.96
3 7 1 : 10.65
4 7 1 : 138.43
1 8 1 : 2.75
2 8 1 : 2.62
3 8 1 : 7.21
4 8 1 : 69.21
1 9 1 : 3.26
2 9 1 : 2.45
3 9 1 : 5.24
4 9 1 : 38.45
1 10 1 : 4.04
2 10 1 : 2.39
3 10 1 : 4.04
4 10 1 : 23.07
1 11 1 : 5.24
2 11 1 : 2.45
3 11 1 : 3.26
4 11 1 : 14.68
1 12 1 : 7.21
2 12 1 : 2.62
3 12 1 : 2.75
4 12 1 : 9.79
1 13 1 : 10.65
2 13 1 : 2.96
3 13 1 : 2.42
4 13 1 : 6.78
1 14 1 : 17.3
2 14 1 : 3.55
3 14 1 : 2.22
4 14 1 : 4.84
1 15 1 : 32.3
2 15 1 : 4.61
3 15 1 : 2.13
4 15 1 : 3.55
1 16 1 : 75.7
2 16 1 : 6.73
3 16 1 : 2.16
4 16 1 : 2.66
1 17 1 : 285
2 17 1 : 11.88
3 17 1 : 2.38
4 17 1 : 2.04

Развёрнутые ставки для лотереи «Гослото «5 из 36»

Таблица развёрнутых ставок для основного поля лотереи «Гослото «5 из 36»
Хотим угадать Отмечено номеров Вероятность
1 5 1 : 2.4
2 5 1 : 8.39
3 5 1 : 81.07
4 5 1 : 2,432.21
5 5 1 : 376,992
1 6 1 : 2.29
2 6 1 : 6.19
3 6 1 : 43.33
4 6 1 : 837.76
5 6 1 : 62,832
1 7 1 : 2.27
2 7 1 : 4.91
3 7 1 : 26.53
4 7 1 : 371.42
5 7 1 : 17,952
1 8 1 : 2.3
2 8 1 : 4.11
3 8 1 : 17.81
4 8 1 : 192.34
5 8 1 : 6,732
1 9 1 : 2.39
2 9 1 : 3.58
3 9 1 : 12.79
4 9 1 : 110.81
5 9 1 : 2,992
1 10 1 : 2.52
2 10 1 : 3.22
3 10 1 : 9.67
4 10 1 : 69.05
5 10 1 : 1,496
1 11 1 : 2.71
2 11 1 : 2.98
3 11 1 : 7.62
4 11 1 : 45.7
5 11 1 : 816
Таблица развёрнутых ставок для дополнительного поля лотереи «Гослото «5 из 36»
Хотим угадать Отмечено номеров Вероятность
1 1 1 : 4
1 2 1 : 2
1 3 1 : 1.33
1 4 1 : 1

Развёрнутые ставки для лотереи «Гослото «6 из 45»

Таблица развёрнутых ставок для лотереи «Гослото «6 из 45»
Хотим угадать Отмечено номеров Вероятность
1 6 1 : 2.36
2 6 1 : 6.6
3 6 1 : 44.56
4 6 1 : 732.8
5 6 1 : 34,807.95
6 6 1 : 8,145,060
1 7 1 : 2.32
2 7 1 : 5.25
3 7 1 : 27.59
4 7 1 : 331.03
5 7 1 : 10,206.84
6 7 1 : 1,163,580
1 8 1 : 2.34
2 8 1 : 4.4
3 8 1 : 18.72
4 8 1 : 174.71
5 8 1 : 3,931.01
6 8 1 : 290,895
1 9 1 : 2.4
2 9 1 : 3.84
3 9 1 : 13.58
4 9 1 : 102.61
5 9 1 : 1,795.65
6 9 1 : 96,965
1 10 1 : 2.51
2 10 1 : 3.46
3 10 1 : 10.37
4 10 1 : 65.19
5 10 1 : 923.48
6 10 1 : 38,786
1 11 1 : 2.66
2 11 1 : 3.19
3 11 1 : 8.25
4 11 1 : 44
5 11 1 : 518.53
6 11 1 : 17,630
1 12 1 : 2.86
2 12 1 : 3.02
3 12 1 : 6.79
4 12 1 : 31.16
5 12 1 : 311.64
6 12 1 : 8,815
1 13 1 : 3.11
2 13 1 : 2.9
3 13 1 : 5.74
4 13 1 : 22.97
5 13 1 : 197.77
6 13 1 : 4,746.54

Развёрнутые ставки для лотереи «Гослото «7 из 49»

Таблица развёрнутых ставок для лотереи «Гослото «7 из 49»
Хотим угадать Отмечено номеров Вероятность
1 7 1 : 2.34
2 7 1 : 4.81
3 7 1 : 21.93
4 7 1 : 213.79
5 7 1 : 4,750.88
6 7 1 : 292,178.86
7 7 1 : 85,900,584
1 8 1 : 2.39
2 8 1 : 4.09
3 8 1 : 15.15
4 8 1 : 115.12
5 8 1 : 1,870.66
6 8 1 : 74,826.29
7 8 1 : 10,737,573
1 9 1 : 2.49
2 9 1 : 3.63
3 9 1 : 11.19
4 9 1 : 69
5 9 1 : 874.04
6 9 1 : 25,565.65
7 9 1 : 2,386,127.33
1 10 1 : 2.63
2 10 1 : 3.32
3 10 1 : 8.7
4 10 1 : 44.76
5 10 1 : 460.02
6 10 1 : 10,488.47
7 10 1 : 715,838.2
1 11 1 : 2.83
2 11 1 : 3.11
3 11 1 : 7.05
4 11 1 : 30.86
5 11 1 : 264.48
6 11 1 : 4,892.95
7 11 1 : 260,304.8
1 12 1 : 3.08
2 12 1 : 2.99
3 12 1 : 5.91
4 12 1 : 22.33
5 12 1 : 162.85
6 12 1 : 2,512.59
7 12 1 : 108,460.33
1 13 1 : 3.39
2 13 1 : 2.92
3 13 1 : 5.1
4 13 1 : 16.83
5 13 1 : 105.94
6 13 1 : 1,390.52
7 13 1 : 50,058.62
1 14 1 : 3.78
2 14 1 : 2.91
3 14 1 : 4.51
4 14 1 : 13.11
5 14 1 : 72.11
6 14 1 : 817.28
7 14 1 : 25,029.31

Калькулятор развёрнутых ставок

Лотерея
- 4 +
из
- 20 +
Сколько надо угадать
- 1 +
Сколько отмечаем в билете
- 4 +

Вероятность угадать составляет:

P(A)=C41C20441C204=C41C163C204=45604,845121 к 2.16P(A) = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 1 } \cdot C_{ 20 - 4 }^{ 4 - 1 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac{ C_{ 4 }^{ 1 } \cdot C_{ 16 }^{ 3 } } { C_{ 20 }^{ 4 } } = \dfrac { 4 \cdot 560 } { 4,845 } \approx \dfrac {1} { 2 } \approx 1 ~ к ~ 2.16