Шансы выиграть в лотерею

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, в конце есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность

— степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется \(\frac{1}{5}\) , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5 , либо 3 , либо 2 , либо 4 , либо 1 .

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать « \(k\text{ из }n\) », а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ( \(k = 2, n = 5\) ). Теперь шанс угадать составляет \(\frac{1}{10}\) , так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

Важно отметить, что для выигрыша в лотерею порядок выпадения чисел в каждой комбинации не имеет значения.

В теории вероятностей вышеприведённые пять шаров на самом деле являются множеством чисел от 1 до 5. Множество обозначается фигурными скобками { }, а каждая отдельная комбинация называется сочетанием .

В комбинаторике сочетанием k из n элементов называется комбинация, содержащая k элементов, выбранных из множества, содержащего n различных элементов.

В сочетаниях не учитывается порядок элементов, \(\{1, 2\}\) и \(\{2, 1\}\) считаются одинаковыми.

Теперь всё это мы можем записать математически:

У нас есть множество из 5 шаров \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) . И есть 10 сочетаний, которые можно составить из 5 по 2 шара:

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается \(C_{n}^{k}\) (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”) и читается как «число сочетаний из n элементов по k». В нашем случае \(C_{5}^{2}\) — число сочетаний из 5 по 2 равно 10.

Число сочетаний

Число сочетаний рассчитывается по формуле:

\(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

\(n!\) и \(k!\) — это факториалы соответствующих чисел \(n\) и \(k\) . Факториал натурального числа \(n\) это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\) включительно. Например, факториал числа 5 равен \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) .

Давайте проверим наш результат для лотереи 2 из 5:

\(C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!}= \frac{5!}{2!\cdot3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}\)

Смотрите, мы можем сократить делимое и делитель на \((n-k)!\) , я выделил скобками, чтобы было понятней:

\(\frac{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot ( 1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{ 4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10\)

Обратите внимание, что после того как мы сократили делимое и делитель, у нас осталось по два числа в делимом и делителе, а точнее по \(k\) чисел. В делимом это произведение двух самых больших чисел из \(n\) , а в делителе факториал числа \(k\) . И если вы хотите посчитать вероятность выигрыша, вам не надо считать полностью факториалы, а достаточно перемножить \(k\) самых больших элементов из \(n\) и разделить на факториал \(k\) .

Давайте посчитаем количество комбинаций для лотереи «Спортлото «6 из 45»:

\(C_{45}^{6} = \frac{45!}{6!(45-6)!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5,864,443,200}{720} = 8,145,060\)

Весь набор сочетаний - это полная система. Если вы купите билеты со всеми комбинациями, то вы гарантированно выиграете.

Вероятность выигрыша

Теперь перейдем к вероятности выигрыша, если вы покупаете билет лотереи «Спортлото «6 из 45» с одной комбинацией, то вероятность у вас 1 к 8 145 060. Вы взяли 2 билета с разными комбинациями — ваши шансы равны 2 к 8 145 060 или 1 к 4 072 530. Взяли 10 билетов, но везде записали одну и ту же комбинацию — ваши шансы снова 1 к 8 145 060. Таким образом, вероятность — это отношение количества ваших уникальных комбинаций к общему количеству комбинаций.

Если вы играете в лотерею, в которой надо угадать правильно числа в двух игровых полях, например, в американскую лотерею Powerball «5 из 69 + 1 из 26», то вам необходимо перемножить количество комбинаций «5 из 69» на «1 из 26».

\(C_{69}^{5} = \frac{69!}{5!(69-5)!} = \frac{69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1,348,621,560}{120} = 11,238,513\)

\(C_{26}^{1} = \frac{26!}{1!(26-1)!} = \frac{26}{1} = 26\)

\(11,238,513 \cdot 26 = 292,201,338\)

«Спортлото «4 из 20»

В российской лотерее «Спортлото «4 из 20» для выигрыша суперприза необходимо в двух полях угадать по «4 из 20», вычисляем количество комбинаций для одного поля:

\(C_{20}^{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{116,280}{4,845} = 4,845\)

Получаем 4 845 комбинаций, вероятность угадать «4 из 20» равна 1 к 4 845, но так как нам необходимо два раза угадать, то мы перемножаем вероятности, чтобы получить количество комбинаций для двух полей:

\(4,845 \cdot 4,845 = 23,474,025\)

Как мы видим, вероятность выиграть в «Спортлото «4 из 20» меньше чем в «Спортлото «6 из 45», 1 к 23 миллионам против 1 к 8 миллионам.

Но это хотя бы реально, давайте взглянем на правила российской лотереи «Русское лото»:

«Русское лото»

В мешок загружают бочонки, пронумерованные от 1 до 90. Ведущий достает бочонки по одному и называет их номера. В 1-м туре выигрывают билеты, в которых 5 чисел в любой из шести горизонтальных строк раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Во 2-м туре выигрывают билеты, в которых все 15 чисел в любом из полей раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Если у вас на пятнадцатом ходу все пятнадцать чисел одного из двух игровых полей билета (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка, — вы выиграли Джекпот.

Получается, что на 15-ом ходу мы должны "угадать" «15 из 90». Слово угадать взято в кавычки, так как мы не выбираем числа в этой лотерее, в отличие от других, в «Русском лото» цифры уже выбраны. Давайте оценим вероятность угадать «15 из 90»:

\(C_{90}^{15} = \frac{90!}{15!(90-15)!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 76}{6 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{59,885,829,008,610,350,000,000,000,000}{1,307,674,368,000} = 45,795,673,964,460,820\)

Так как в одном билете есть два игровых поля (верхнее и нижнее), то вероятность выиграть Джекпот при покупке одного билета составляет:

\(\frac{45,795,673,964,460,820}{2} = 22,897,836,982,230,410\)

Википедия подсказала мне это слово — квадриллио́н . Вероятность выиграть джекпот в Русском лото один к двадцати двум квадриллионам. Помните задачу о зёрнах на шахматной доске ? Эта цифра такого же порядка, ну может раз в 200 поменьше. Это астрономическая цифра, нереальная.

Когда вы играете в обычную лотерею, например «6 из 45», вы заполняете билет и ваша комбинация участвует в розыгрыше. В Русском лото вы не заполняете билет, вы покупаете билет с уже готовой комбинацией чисел. Было бы честно, если бы вы могли выбрать одну свою комбинацию из 45 квадриллионов, но вы не сможете, так как никто и никогда не сможет напечатать такое количество билетов для одного тиража.

Но давайте пойдём дальше оценивать вероятности. Следующая лотерея «Спортлото «5 из 36». Правила нам говорят следующее:

«Спортлото «5 из 36»

Выберите от пяти чисел в диапазоне от 1 до 36 в поле 1 и от одного числа в диапазоне от 1 до 4 в поле 2. Угадав 5 чисел в поле 1 и 1 число в поле 2 , вы получаете суперприз. Угадав только 5 чисел в поле 1 , вы получаете выигрыш категории «приз».

Для выигрыша суперприза необходимо угадать «5 из 36 и 1 из 4», смотрим:

\(C_{36}^{5} = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{45,239,040}{120} = 376,992\)

\(C_{4}^{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4\)

\(376,992 \cdot 4 = 1,507,968\)

Один к полутора миллионам, шансы есть. Посмотрим вероятность выиграть приз при угадывании «5 из 36»:

\(C_{36}^{5} = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{45,239,040}{120} = 376,992\)

Шансы ещё выше.

«6 из 36»

Следующая лотерея «6 из 36», здесь вы не сможете самостоятельно выбрать комбинацию, придётся покупать что предложат. Смотрим:

\(C_{36}^{6} = \frac{36!}{6!(36-6)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1,402,410,240}{720} = 1,947,792\)

«Спортлото «7 из 49»

\(C_{49}^{7} = \frac{49!}{7!(49-7)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{432,938,943,360}{5,040} = 85,900,584\)

Лотерея «Рапидо»

Теперь перейдём к экзотическим лотереям. Лотерея «Рапидо». Правила говорят, что для выигрыша суперприза:

Вам надо угадать 8 неповторяющихся чисел от 1 до 20 в первой части игрового поля и одно число от 1 до 4 — во второй части.

Получаем «8 из 20 и 1 из 4»

\(C_{20}^{8} = \frac{20!}{8!(20-8)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5,079,110,400}{40,320} = 125,970\)

\(C_{4}^{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = 4\)

\(125,970 \cdot 4 = 503,880\)

Вероятность выигрыша в «Рапидо» составляет 1 к 503 880.

Лотерея «Зодиак»

В лотерее «Зодиак» необходимо угадать 4 числа: первое — от 1 до 31 включительно, второе — от 1 до 12 включительно, третье — от 0 до 99 включительно и четвертое — от 1 до 12 включительно. Мы получаем вероятности 1 из 31, 1 из 12, 1 из 100 (так как от 0 до 99 включительно) и снова 1 из 12. Перемножаем эти вероятности:

\(31 \cdot 12 \cdot 100 \cdot 12 = 446,400\)

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Зодиак» составляет 1 к 446 400.

Лотерея «Дуэль»

Комбинация тиража состоит из четырех чисел: два числа (в диапазоне от 1 до 26) для первого поля и два числа (в диапазоне от 1 до 26) — для второго.

Чтобы выиграть суперприз мы должны угадать «2 из 26 и 2 из 26»:

\(C_{26}^{2} = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26 \cdot 25}{2 \cdot 1} = \frac{650}{2} = 325\)

\(C_{26}^{2} = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26 \cdot 25}{2 \cdot 1} = \frac{650}{2} = 325\)

\(325 \cdot 325 = 105,625\)

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Дуэль» составляет 1 к 105 625.

А ещё вы можете посмотреть на вероятность выиграть в лотерею при использовании развёрнутых ставок .