Шансы выиграть в лотерею

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, в конце есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность
— степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

1 2 3 4 5

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется 15\frac{1}{5} , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5 , либо 3 , либо 2 , либо 4 , либо 1 .

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать « kk из nn », а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ( k=2,n=5k = 2, n = 5 ). Теперь шанс угадать составляет 110\frac{1}{10} , так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5

Важно отметить, что для выигрыша в лотерею порядок выпадения чисел в каждой комбинации не имеет значения.

В теории вероятностей вышеприведённые пять шаров на самом деле являются множеством чисел от 1 до 5. Множество обозначается фигурными скобками { }, а каждая отдельная комбинация называется сочетанием.

В комбинаторике сочетанием k из n элементов называется комбинация, содержащая k элементов, выбранных из множества, содержащего n различных элементов.

В сочетаниях не учитывается порядок элементов, {1,2}\{1, 2\} и {2,1}\{2, 1\} считаются одинаковыми.

Теперь всё это мы можем записать математически:

У нас есть множество из 5 шаров {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} . И есть 10 сочетаний, которые можно составить из 5 по 2 шара:

{1,2}\{1, 2\}
{1,3}\{1, 3\}
{1,4}\{1, 4\}
{1,5}\{1, 5\}
{2,3}\{2, 3\}
{2,4}\{2, 4\}
{2,5}\{2, 5\}
{3,4}\{3, 4\}
{3,5}\{3, 5\}
{4,5}\{4, 5\}

Число всех сочетаний из nn элементов по kk элементов в каждом обозначается CnkC_{n}^{k} (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”) и читается как «число сочетаний из n элементов по k». В нашем случае C52C_{5}^{2} — число сочетаний из 5 по 2 равно 10.

Число сочетаний

Число сочетаний рассчитывается по формуле:

Cnk=n!k!(nk)!C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

n!n! и k!k! — это факториалы соответствующих чисел nn и kk . Факториал натурального числа nn это произведение всех натуральных чисел от 1 до nn включительно. Например, факториал числа 5 равен 5!=12345=1205! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 .

Давайте проверим наш результат для лотереи 2 из 5:

C52=5!2!(52)!=5!2!3!=1234512123C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!}= \frac{5!}{2!\cdot3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}

Смотрите, мы можем сократить делимое и делитель на (nk)!(n-k)! , я выделил скобками, чтобы было понятней:

(123)4512(123)=1231234512=202=10\frac{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot ( 1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{ 4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10

Обратите внимание, что после того как мы сократили делимое и делитель, у нас осталось по два числа в делимом и делителе, а точнее по kk чисел. В делимом это произведение двух самых больших чисел из nn , а в делителе факториал числа kk . И если вы хотите посчитать вероятность выигрыша, вам не надо считать полностью факториалы, а достаточно перемножить kk самых больших элементов из nn и разделить на факториал kk .

Давайте посчитаем количество комбинаций для лотереи «Гослото «6 из 45»:

C456=45!6!(456)!=454443424140654321=5,864,443,200720=8,145,060C_{45}^{6} = \frac{45!}{6!(45-6)!} = \frac{45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{5,864,443,200}{720} = {8,145,060}

Весь набор сочетаний - это полная система. Если вы купите билеты со всеми комбинациями, то вы гарантированно выиграете.

Вероятность выигрыша

Теперь перейдем к вероятности выигрыша, если вы покупаете билет лотереи «Гослото «6 из 45» с одной комбинацией, то вероятность у вас 1 к 8 145 060. Вы взяли 2 билета с разными комбинациями — ваши шансы равны 2 к 8 145 060 или 1 к 4 072 530. Взяли 10 билетов, но везде записали одну и ту же комбинацию — ваши шансы снова 1 к 8 145 060. Таким образом, вероятность — это отношение количества ваших уникальных комбинаций к общему количеству комбинаций.

Если вы играете в лотерею, в которой надо угадать правильно числа в двух игровых полях, например, в американскую лотерею Powerball «5 из 69 + 1 из 26», то вам необходимо перемножить количество комбинаций «5 из 69» на «1 из 26».

C695=69!5!(695)!=696867666554321=1,348,621,560120=11,238,513C_{69}^{5} = \frac{69!}{5!(69-5)!} = \frac{69\cdot68\cdot67\cdot66\cdot65}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{1,348,621,560}{120} = {11,238,513}
C261=26!1!(261)!=261=261=26C_{26}^{1} = \frac{26!}{1!(26-1)!} = \frac{26}{1} = \frac{26}{1} = {26}
11,238,51326=292,201,33811,238,513\cdot26 = 292,201,338

«Гослото «4 из 20»

В российской лотерее «Гослото «4 из 20» для выигрыша суперприза необходимо в двух полях угадать по «4 из 20», вычисляем количество комбинаций для одного поля:

C204=20!4!(204)!=201918174321=116,28024=4,845C_{20}^{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{116,280}{24} = {4,845}

Получаем 4 845 комбинаций, вероятность угадать «4 из 20» равна 1 к 4 845, но так как нам необходимо два раза угадать, то мы перемножаем вероятности, чтобы получить количество комбинаций для двух полей:

1484514845=123,474,025\frac{1}{4845}\cdot\frac{1}{4845} =\frac{1}{23,474,025}

Как мы видим, вероятность выиграть в «Гослото «4 из 20» меньше чем в «Гослото «6 из 45», 1 к 23 миллионам против 1 к 8 миллионам.

Но это хотя бы реально, давайте взглянем на правила российской лотереи «Русское лото»:

«Русское лото»

В мешок загружают бочонки, пронумерованные от 1 до 90. Ведущий достает бочонки по одному и называет их номера. В 1-м туре выигрывают билеты, в которых 5 чисел в любой из шести горизонтальных строк раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Во 2-м туре выигрывают билеты, в которых все 15 чисел в любом из полей раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Если у вас на пятнадцатом ходу все пятнадцать чисел одного из двух игровых полей билета (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка, — вы выиграли Джекпот.

Получается, что на 15-ом ходу мы должны "угадать" «15 из 90». Слово угадать взято в кавычки, так как мы не выбираем числа в этой лотерее, в отличие от других, в «Русском лото» цифры уже выбраны. Давайте оценим вероятность угадать «15 из 90»:

C9015=90!15!(9015)!=908988878685848382818079787776151413121110987654321=59,885,829,008,610,350,000,000,000,0001,307,674,368,000=45,795,673,964,460,820C_{90}^{15} = \frac{90!}{15!(90-15)!} = \frac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86\cdot85\cdot84\cdot83\cdot82\cdot81\cdot80\cdot79\cdot78\cdot77\cdot76}{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{59,885,829,008,610,350,000,000,000,000}{1,307,674,368,000} = {45,795,673,964,460,820}

Википедия подсказала мне это слово — квадриллио́н. Вероятность выиграть джекпот в Русском лото один к сорока пяти квадриллионам. Помните задачу о зёрнах на шахматной доске? Эта цифра такого же порядка, ну может раз в 400 поменьше. Это астрономическая цифра, нереальная.

Когда вы играете в обычную лотерею, например «6 из 45», вы заполняете билет и ваша комбинация участвует в розыгрыше. В Русском лото вы не заполняете билет, вы покупаете билет с уже готовой комбинацией чисел. Было бы честно, если бы вы могли выбрать одну свою комбинацию из 45 квадриллионов, но вы не сможете, так как никто и никогда не сможет напечатать такое количество билетов для одного тиража.

Но давайте пойдём дальше оценивать вероятности. Следующая лотерея «Гослото «5 из 36». Правила нам говорят следующее:

«Гослото «5 из 36»

Выберите от пяти чисел в диапазоне от 1 до 36 в поле 1 и от одного числа в диапазоне от 1 до 4 в поле 2. Угадав 5 чисел в поле 1 и 1 число в поле 2 , вы получаете суперприз. Угадав только 5 чисел в поле 1 , вы получаете выигрыш категории «приз».

Для выигрыша суперприза необходимо угадать «5 из 36 и 1 из 4», смотрим:

C365=36!5!(365)!=363534333254321=45,239,040120=376,992C_{36}^{5} = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{45,239,040}{120} = {376,992}
C41=4!1!(41)!=41=41=4C_{4}^{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = \frac{4}{1} = {4}
376,9924=1,507,968376,992\cdot4 = 1,507,968

Один к полутора миллионам, шансы есть. Посмотрим вероятность выиграть приз при угадывании «5 из 36»:

C365=36!5!(365)!=363534333254321=45,239,040120=376,992C_{36}^{5} = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{45,239,040}{120} = {376,992}

Шансы ещё выше.

«6 из 36»

Следующая лотерея «6 из 36», здесь вы не сможете самостоятельно выбрать комбинацию, придётся покупать что предложат. Смотрим:

C366=36!6!(366)!=363534333231654321=1,402,410,240720=1,947,792C_{36}^{6} = \frac{36!}{6!(36-6)!} = \frac{36\cdot35\cdot34\cdot33\cdot32\cdot31}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{1,402,410,240}{720} = {1,947,792}

«Гослото «7 из 49»

C497=49!7!(497)!=494847464544437654321=432,938,943,3605,040=85,900,584C_{49}^{7} = \frac{49!}{7!(49-7)!} = \frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{432,938,943,360}{5,040} = {85,900,584}

Лотерея «Рапидо»

Теперь перейдём к экзотическим лотереям. Лотерея «Рапидо». Правила говорят, что для выигрыша суперприза:

Вам надо угадать 8 неповторяющихся чисел от 1 до 20 в первой части игрового поля и одно число от 1 до 4 — во второй части.

Получаем «8 из 20 и 1 из 4»

C208=20!8!(208)!=201918171615141387654321=5,079,110,40040,320=125,970C_{20}^{8} = \frac{20!}{8!(20-8)!} = \frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{5,079,110,400}{40,320} = {125,970}
C41=4!1!(41)!=41=41=4C_{4}^{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4}{1} = \frac{4}{1} = {4}
125,9704=503,880125,970\cdot4 = 503,880

Вероятность выигрыша в «Рапидо» составляет 1 к 503 880.

Лотерея «Зодиак»

В лотерее «Зодиак» необходимо угадать 4 числа: первое — от 1 до 31 включительно, второе — от 1 до 12 включительно, третье — от 0 до 99 включительно и четвертое — от 1 до 12 включительно. Мы получаем вероятности 1 из 31, 1 из 12, 1 из 100 (так как от 0 до 99 включительно) и снова 1 из 12. Перемножаем эти вероятности:

1311121100112=1446,400\frac{1}{31}\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{446,400}

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Зодиак» составляет 1 к 446 400.

Лотерея «Дуэль»

Комбинация тиража состоит из четырех чисел: два числа (в диапазоне от 1 до 26) для первого поля и два числа (в диапазоне от 1 до 26) — для второго.

Чтобы выиграть суперприз мы должны угадать «2 из 26 и 2 из 26»:

C262=26!2!(262)!=262521=6502=325C_{26}^{2} = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26\cdot25}{2\cdot1} = \frac{650}{2} = {325}
C262=26!2!(262)!=262521=6502=325C_{26}^{2} = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26\cdot25}{2\cdot1} = \frac{650}{2} = {325}
325325=105,625325\cdot325 = 105,625

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Дуэль» составляет 1 к 105 625.


Онлайн калькулятор расчёта вероятности выиграть в лотерею

Основные шары
- 6 +
из
- 45 +
Дополнительные шары
- 0 +
из
- 0 +
C456=45!6!(456)!=454443424140654321=5,864,443,200720=8,145,060C_{45}^{6} = \frac{45!}{6!(45-6)!} = \frac{45\cdot44\cdot43\cdot42\cdot41\cdot40}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{5,864,443,200}{720} = {8,145,060}